인류는 자연수의 발견을 시작으로 자연수를 포함하는 유리수를 발견하였고, 무리수의 발견으로 무리수와 유리수의 집합인 실수를 발견하였고, 허수의 발견으로 실수와 허수의 집합인 복소수까지 수의 세계를 확장해왔다. 인류는 이렇게 수의 세계를 확장하며 복소수라는 종착역에 도착하였다.
이 책의 1장에서는 이러한 수들의 역사를 살펴보고 있다. 사람들은 답이 없는 문제와 마주칠 때마다 새로운 수를 만들어 냈다. 자연수는 물체의 개수를 헤아릴 때 사용하는 수를 말한다. 자연수를 더하던, 곱하던 그 값은 자연수가 나온다. 그러나 자연수끼리 나누면 답을 구할 수 없는 경우가 생긴다. 이렇게 사람들은 답을 구할 수 없게 되자, 새로운 수를 만들어 냈는데 처음으로 발명해 낸 것은 바로, 분수이다. 분수의 발견으로 사람들은 양의 유리수까지 수의 세계를 확장했다. 유리수의 발명으로 물체의 개수뿐만 아니라 양을 수로 나타낼 수 있게 되었다.
피타고라스는 유리수가 수의 전부라고 믿었지만, 그의 제자인 히파소스가 유리수로는 절대 설명되지 않는 무리수를 발견하였다. 피타고라스의 정리로 정사각형의 대각선을 구하면 와 같이 유리수로는 도저히 설명 할 수 없는 수가 나오게 된다. 이렇듯 유리수가 아닌 수를 무리수라고 정의 내렸고, 무리수의 발견으로 유리수와 무리수를 합한 실수의 개념에 이르렀다. 이 무리수 부분에서 인상 깊었던 것은, 바로 무리수의 분수 표현방법이다. 분모와 분자가 모두 자연수인 분수로 나타낼 수 있는 수가 유리수인데 무리수를 어떻게 분수로 나타낸다는 것인가? 바로 ‘연분수’라는 것을 이용하여 분수로 표기했다. 연분수란 분모 부분에 다시 분수가 들어가 있는 분수를 말하는데, 무리수를 분수로 표기하다 보면 끝도 없이 연분수 형태가 나오기 때문에 무리수를 왜 분수로 표현하지 않는지 알 수 있었다.
2장부터는 본격적으로 허수를 다루게 되는데 특히 2장에서는 허수의 탄생을 다루고 있다.
‘두 수가 있다. 이들을 더하면 10이 되고, 곱하면 40이 된다. 두 수는 각각 얼마인가?’ 이탈리아 수학자 지롤라모 카르다노의 저서 <아르스 마그나>에 제시되어있는 문제이다. 일단, 5와 5의 조합으로 풀어 본다면 5%=10, 5*5=25 40 이므로 조건에 맞지 않는다. 그렇다면 5X, 5-x인 수라고 생각할 수 있는데 이 식을 이용하여 풀어보면 5X5-x=25- =40 이고, 이때 이 음수여야만 이 식이 성립하므로 ‘허수’의 존재를 알기 전까지는 ‘답이 없는 문제’가 되었다. 이렇게 사람들은 또다시 ‘답이 없는 문제’와 마주하게 되었고 사람들은 새로운 수인 ‘허수’를 만들어 냈다. 제곱하여 음수가 되는 허수를 만들어 카르다노의 문제를 ‘답이 없는 문제’에서 ‘답이 있는 문제’로 전환했다. 우린 이 허수를 단 몇 시간 만에 이해하고 넘어가지만, 이 ‘허수’라는 존재가 성립되기까지는 3500년 이상 걸렸다는 것이 놀라웠다. <아르스 마그나>는 허수가 등장하는 최초의 책이다. 이 책의 저자인 카르다노는 허수를 사용하면 답이 없는 문제라도 답을 낼 수 있음을 최초로 보였고, 이제 허수를 사용하여 어떤 2차 방정식이던 해를 구할 수 있게 되었다.
3장에서는 허수의 신비한 성질을 다루고 있다. 허수는 수직선 상 그 어디에도 없다. 허수는 수직선에서 벗어나 원점에서 위 방향으로 뻗은 화살표로 그려진다. 이렇게 가로축은 실수축, 세로축은 허수축으로 완성되면서 복소수를 나타내는 ‘가우스 평면’이 탄생하게 되었다.
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3장에서는 ‘허수’가 수학세계에서 큰 역할을 하고 있음을 살펴보았다면 4장에서는 실재 세계에서 허수의 신비한 성질을 알아본다.
양자론 이전의 물리학까지만 해도 허수는 필요하지 않았다. 하지만 양자역학에서는 허수가 없다면 전자 1개의 움직임조차 설명하지 못한다. 게다가 양자 역학의 기초를 이루는 방정식은 슈뢰딩거 방정식에도 허수단위 가 식의 첫머리에 나온다. 이렇듯 양자역학에서 허수는 빠질 수 없는 존재이다. 만약 허수나 복소수가 없었다면 현재 과학기술과 공학의 토대인 양자역학이 없었을 것이고, 양자역학이 없었다면 오늘날의 문화를 구출할 수 없었을 것이다.
허수가 없었더라면 4차원 시공에서 피타고라스 정리가 성립하지 않았을 것이다. 아인슈타인의 수학 선생님인 헤르만 민코프스키는 ‘허수 시간’을 대입하여 4차원에서 피타고라스 정리가 성립함을 보였다. 시간의 경과를 t가 아닌 허수 단위 를 곱해 t로 나타내어 시공의 거리는 라 나타낼 수 있게 되었고, 이는 피타고라스 정리를 확장한 형태이다. 민코프스키가 제안한 허수 시간이란, 실수 시간에서 사과가 아래로 떨어진다면 허수 시간에서는 위로 떨어지는 것이다. 말로는 무슨 소리인지 이해가 안 되겠지만, 식을 정리해본다면 충분히 이해할 것이다. [속도=변위/시간 변화, 가속도=속도변화/시간 변화=변위/시간변화 ] 이처럼 가속도를 구하기 위해서는 거리를 시간으로 2번 나누어야 하는데 여기서 시간이 만일 허수라면 거리/시간 의 답에는 음의 부호가 붙게 된다. 뉴턴 역학 운동 방정식 ‘F=ma'에 따르면 가속도 a에 음의 부호가 붙었기 때문에 힘의 방향은 반대 되고, 그래서 실수시간에서는 아래로 떨어지는 사과가 허수 시간에서 위로 떨어지는 것이다. 스티븐 호킹은 ‘우주의 기원 때 허수 시간이 존재하다가 마침내 실수시간으로 바뀌었다고 주장한다. 하지만 우리는 실제로 허수 시간을 확인할 수 없고 만약 허수 시간이 있었다고 생각하면 궁극의 어려운 문제에도 답이 나오게 된다. 스티븐 호킹의 말대로 우주의 기원에 허수 시간을 가정하면, 거기에서는 시간과 공간이 아주 대등한 것이 되어 그 둘이 구별되지 않고, 이 효과에 의해 일반 상대성 이론의 파탄이 일어나는 ‘특이점’이 되지 않고, 우주의 기원이 둥글게 되어 어디가 끝인지 알 수 없는 무경계 가설까지 이르게 된다. 이렇게 허수 라는 존재가 우주의 기원까지 알아낼 수 있는 열쇠라니, 이것이 바로 허수 가 가진 위력이 아닐까 생각이 든다.
5장에서는 허수의 다양한 응용들을 설명하고 있다.
이 책을 읽으면서 그동안 배워 왔던 수의 역사를 알게 되어서 좋았고 생각보다 지금 내가 알고 있는 수들이 확립되기 위해서 오랜 시간이 걸렸다는 것에 신기했다. 이 책의 제목처럼 허수란 무엇인지 잘 알게 되었다. 허수 이외에도 여러 공식, 함수와 같이 이 책을 이해하기 위한 기본적인 것들을 잘 모르는 독자를 위해 세심히 뒤에 추가 설명 해 놓은 것이 좋았던 것 같다. 솔직히 5장에 대해서는 아직 완벽히 이해하지 못했다. 아직 내가 접해보지 않은 함수들이 나와서 그랬던 것 같다. 나중에 어려웠던 부분에 대해 배우고 난 후 다시 읽어보며 지금 이해하지 못했던 내용을 이해했으면 하는 작은 바람이 있다. 여러 그림 설명과 공식 설명들로 나처럼 잘 모르는 독자를 배려하는 책 이라는 게 느껴졌고, 잘 모르더라도 설명이 잘 되어있기 때문에 허수에 대해 알고 싶은 사람이라면 누구든지 추천하고 싶다.
