[독후감] 수학의 기초와 기본개념을 바탕으로 한 실수체계 정립

 

 

책 이름	수학의 기초와 기본 개념
저자	Howard Eves
작성일	2016.11.06

 

수학의 기초와 기본개념을 바탕으로 한 실수체계 정립

 

수학의 기초와 기본 개념(저. Howard Eves)’은 수학의 여러 분야의 역사적 기원과 진화 과정에 대한 개괄적인 지식을 얻을 수 있는 훌륭한 책이다. 고등학교 입학 전까지 나의 수 체계는 실수에 불과하였지만, 고등학교에 진학하며 나의 수 체계는 복소수까지 확장되어 나의 호기심을 자극하였다. 그래서 나는 이에 대해 연구하기로 결심하였고, 나의 첫 번째 연구는 무리수였다. 무리수에 이어 이번에는 실수체계에 대한 연구를 진행하기 위해 이 책을 읽게 되었다. 나는 목차 ‘7 실수체계(p.301~362)’에서 내가 원하는 답을 얻을 수 있었다. ‘7 실수체계’에서는 실수체계 정립에 대해 공준적으로 접근하고, 이에 대해 증명하였다. 또한 정수로 시작하여 끝으로 복소수까지 대수적인 방법으로 증명을 하며 정수부터 복소수까지 체계를 정립하였다. 7장 끝에는 여러 문제들로 하여금 배운 내용에 대해 잘 습득 할 수 있도록 잘 정리되어 있다.

“Die ganzen Zahlen hat Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. (신은 자연수를 만들었고, 나머지는 인간이 만들었다.)” 이는 독일의 수학자 크로네커의 명언이다. 크로네커의 명언에 따라 우리 인간은 자연수로 하여금 유리수, 무리수 그리고 더 나아가 실수, 복소수까지 수의 체계를 확장하였다. 이는 오로지 인간의 상상 속에서 나온 새로운 수 체계이다. 만약에 인간의 상상 속에서 나온 이 실수체계가 무모순이라면 근본적으로 현존하는 모든 수학은 무모순이 된다. 그래서 나는 실수체계 정립에 대해 여러 방법으로 하여금 실수체계 자체를 논리적으로 증명하여 이를 확증하려고 한다. 실수체계 정립에 대해 여러 방법으로 실수체계 자체를 논리적으로 증명한 것을 한가지만 감상문에 정리하겠다.  실수체계의 연구 접근 방법은 총 두가지 방법으로 공리적, 정의적 방법으로 나뉜다. 그 중 나는 공리적 방법에 대해 소개해보려고 한다.(실제로 이 책에는 공리적 방법밖에 설명되어있지 않았다.)

 공리적 방법이란, 실수들과 실수 위에 시행되는 연산들을 기본적인 용어로 선택하고, 이 체계를 특성화 시키는데 충분한 실수와 기본적인 연산에 대한 몇 가지 직관적인 성질을 공준으로 설정하여 실수 체계의 존재를 공리적으로 인정하는 방법이다. 실수체계는 순서 체이다. 실수체계가 순서 체 라는 것만으로는 실수 체계를 특성화시킬 수 없다. 그러나 실수체계에 대한 직관적 개념은 한가지의 부수적인 성질을 추가한 순서 체의 공준으로 특성화 시킬 수 있다. 이 하가지의 부수적인 성질을 연속성 공준이라 일컫는데, 연속성 공준을 만족시키는 순서 체를 완비 순서 체라 정의한다. 동형을 무시하면, 완비 순서 체에 대한 단 하나의 해석이 존재하기 때문에, 체의 공리와 순서 공리 및 완비성 공리를 만족시킬 때의 R을 실수 체계라 하고, R의 각 원소를 실수라 할 수 있다. 완비 순서 체의 정의는 아래와 같다.

 

(1) 체의 공리(field axioms)

임의의 a？R, b？R, c？R에 대해 다음이 성립한다.

A1. a+b=b+a

A2. (a+b)+c=a+(b+c)

A3. 특정한 원소 0？R이 존재하여 a+0=0+a=a 이다.

A4. -a？R이 존재하여 a+(-a)=(-a)+a+0 이다.

A5. ab=ba

A6. (ab)c=a(bc)

A7. 특정한 원소 1(≠0)？R이 존재하여 a1=1a=a이다.

A8. 각 a(≠0)？R에 대하여 a？R이 존재하여 aa= aa=1이다.

A9. a(b+c)=ab+ac

 

(2) 순서의 공리(order axioms)

R에는 다음을 만족시키는 부분집합 P(≠？)가 존재한다. (집합 P의 원소를 양수라고 한다.)

B1. 임의의 a？P와 b？P에 대하여 a+b？P 이고 ab？P이다.

B2. 임의의 a？R에 대하여 다음 중 하나만 성립한다.

 

(i) a？P

(ii) a=0

(iii) -a？P

 

(3) 완비성 공리(completeness axioms)

C1. R의 공이 아닌 부분 집합 M이 상계를 가지면, M은 최소 상계를 가진다.

 

독일의 수학자 데데킨트는 연속성을 증명하여 실수체계를 정립하였다. 데데킨트의 연속성 정리는 연속성 공준으로부터 순서 체의 성질들을 이용해서 유도할 수 있으며, 마찬가지로 연속성 공준을 데데킨트의 연속성 정리로부터 유도할 수 있다. 데데킨트의 연속성 정리는 다음과 같다.

 

모든 실수를 다음 방법으로 두 집합 L과 R로 나눈다 하자.

D1. 각 실수는 L또는 R에 속한다.

D2. L과 R 모두, 적어도 하나의 실수를 포함한다.

D3. L에 속하는 각 실수는 R에 속하는 모든 실수보다 작다. 그러면, c보다 작은 모든 실수는 L에 속하고 c보다 큰 모든 실수는 R에 속하는 실수 c가 존재한다.

 

 이 외에도 많은 실수체계 정립에 관한 이론들이 많다. 이 책의 내용은 이 증명이 모두이지만, 나는 추가 자료 조사로 더욱더 많은 실수체계 정립에 관한 이론들을 찾아보았다. 이 책은 나에게 어떻게 하면 연구를 할 수 있을지 길을 잡아주었던 책 인것 같다.

 처음 접했을때 이 책은 과연 수학의 기초 개념을 알려주는 책이 맞는가 싶을정도로 어려운 내용이었다. 이해가 잘 되지 않아 한 3번째쯤 다시 읽으니까 체계적인 흐름이 잡히게 되었고 5번째쯤 되니 내용이해가 되기 시작했다. 이처럼 너무 어려운 책이었지만 수학에 대한 흥미를 느끼기에는 충분한 책이었던 것 같다.